海天考研数学名师解析2021考研数学真题(文字版)
2021考研数学考试已经结束，海天考研第一时间整理发布真题原文及答案，海天考研数学名师为考生们分析考研数学考试特点，逐题答案解读分析，以及对22考研同学们的建议，下面就一起来看看老师的解读吧。
魏老师：咱们今年的话，就是考研数据，上午已经刚刚结束了是吧，方老师。现在接下来就是想请各位老师也是看一下，点评一下就是咱们这个各科是吧，咱们的考研数学，今年的话，它着重的、突出的一些点在哪里，有什么特征?我们请这个方老师，咱们先说一下咱们关于高数这一块。
海天考研数学名师解析2021考研数学真题：高数三大特点
方老师：好，同学们，今天考试已经结束了，这个高等数学部分，总体来说，我觉得三个特点吧。第一个就是重点非常突出，重点知识重点考察，比如说我们后边的这个解答题，这个数一里边的曲线积分，还有拉格朗日乘数法求最值，还有极数求和。这都是重点中的重点。那么包括数学二，数学二呢，后边这个凸凹区间鉴定线，旋转体的体积弧长这都是重中之重。那么包括这个数学三，求这个多元函数的无条件极值，还有二次性积分，还有级数收敛域集合函数都特别地，都是重点，这是第一个，我觉得重点突出。
那么第二个呢，就是比较重视基础。前面选择填空有一些比如说这个连续性，极值的判定还有这个泰勒展开，等价无穷小等等。所以我觉得这个还是体现了这个回归基础的这个特点。所以我觉得对于今年的这个同学，只要把基础打扎实了，那么前面的这个选择填空做起来应该还是比较有信心的。
那么第三个特点就是计算量比较大，今年后边的几道解答题，虽然思路特别清楚，但整个来说还是比较重视计算的，所以我觉得主要就是这三个特点。
魏老师：好，咱们今年高数属于重点突出，但是又重基础，计算量比较大。
方老师：对。
海天考研数学名师解析2021考研数学真题： 线代特点
魏老师：那我们今年的话，看一看线代，线代这一块，咱们看一看，各位老师看一下，咱们有什么特点，我们请王立鹏老师，您看一下。
姜老师：姜老师。
魏老师：姜老师咱们看一下这个线性代数。
姜老师：好，这个线性代数吧，今年来说，我觉得大家经过2019年和经过2020年的同学呢，基本上看了今年的线代就会比较幸福，尤其是数二数三的，数一的你说幸福吧，稍微有点过，数一的呢，他大体考虑到正定的这个分解，这个算是一个新颖题型，以往从来没有考过的新颖题型，数二、数三呢，很传统的相似对角化。那么小题来说，相对来说更中等偏基础，没有特别难的，小题他本来他也很难出太难的题对不对。所以说，线性代数整体来说，数二数三比较晚，数一有新颖的点。这是主要特点。
魏老师：数一有新颖的点。那咱们概率这一块，好像今年的这个题目的话，可能灵活度更高一些是吧，咱们王老师，您看咱们这个概率这一块的题目，今年是怎么样?
海天考研数学名师解析2021考研数学真题：概率特点
王老师：今年概率总体地相对来说，灵活度更高一点，而知识考查面会更宽泛一点，比如说数一同学，他考了第二类错误的角，检验错误有概率的问题，这种题都是十年八年考一次的题。突然间今年就考了。
魏老师：对对对。
王老师：所以这个题让大家做起来，有一些同学就没有复习，提示大家以后复习的时候要做到全面性。有一些知识点，不能说人家不考，你就不看了，这是这样的一个问题。再有呢就是概率里面呢，它的这个填空题呢，它就是结合了一下这种古典概型，咱们有一些同学一做这种古典概型，他就有一些晕掉是吧，然后呢，这是古典概型，然后结合这种相关系数的一个考查。最后呢就是它的这个大题呢，它的大题呢就是讲的这个叫随机变量是吧，随机变量函数，以及它的一个期望。这是大体的还是比较规范的，就是他的一个想法的灵活度稍微地高了一点，这是今年概率的特点。
魏老师：好，我们看今年可能这个概率上面确实是，线性代数上面刚才大家看可能是比较重视基础，概率上面可能灵活度稍微高一些。
王老师：高一些。
海天考研数学名师解析2021考研数学真题：逐题分析
魏老师：接下来咱们看一下，我们逐题看一下，今年的咱们这个题型也是变化了，都是变化了。今年的话，大纲新改之后呢，咱们选择题，填空题和概率。现在选择题的话，咱们高等数学是四个，然后概率和线代各三个，今年一共十道题是不是?那方老师，咱们这边选择题，高等数学的选择题上面，今年是呈现的是一个什么趋势呢?
方老师：我觉得选择题，还是刚才给大家说的，比较重视基础，比如说数学一，你看第一道题是极值可达语言续进，这是我们一元归分学里面非常基础的知识，那么第二道题呢是全微分的概念。
魏老师：全微分。
方老师：以前我们反复讲了，就是计算两个偏导。
魏老师：对。
方老师：那么第三个题就是泰勒展开，这也是非常非常基础的知识。第四个呢，这索性都没让我们计算定积分，就是定积分的定义。
魏老师：对。
方老师：什么是定积分，所以只要你了解定积分的定义，这个就能把它写出来，所以这是数学一的。那么数学二的，第一题也是一样，说是这个等价无穷小，或者说无穷小的比较，实际上就是一个泰勒展开，还是一个泰勒展开，而且特别有意思的数二第一题、第五题都是泰勒展开。所以相当于这个第一张它就已经出了两道选择题10分。
魏老师：对对，也比较特别。
方老师：很重视基础。那么第二道题呢，还是我们刚才说的这种连续性，可导。那么第三题呢，就是导数的一个基本的应用，很基础的就是变化率。
魏老师：对，导数。
方老师：导数它的几何概念呢，是切线斜率，那么物理概念它就是变化率。还有这个第四题呢，就是这个零点的个数，单调性再运用零点定理，也是比较基础的。那么第六题，刚才说了，就是全微分。第七题也是一样，刚才也给大家说了，考的含是定积分的定义，所以整个选择题来说，没有这个难度比较大，或者说计算量比较大的题，比较基础。那么数学三的呢，刚才讲的也是类似的，第一道题也是经过泰勒展开，研究无穷小。第二道题是连续可导，最大最小值。第三题也是这个零点定理单调性。第四题全微分。所以我觉得整个这个选择题，高等数学的选择题，大家做起来应该是比较高兴的，这个里面没有很难的题目，也没有这种大规模计算的，总体来说中规中矩，难度适中，大家做起来，应该是能比较得心应手。
魏老师：好，那我们今年选择题，看来还是大家做起来，应该还是不错。比较乐观，在线代这一块，咱们姜老师看一下，咱们也是逐题看一下，各个题目有什么考点都在哪。
姜老师：好，咱们也是从数一的开始吧。
魏老师：好。
姜老师：数一的第五题，我先说一下，这个题型的调整，题型的调整和咱们同事也说，本来大家都估计线性代数是两道选择题。
魏老师：对对。
姜老师：大题本来以为是15分是吧。
魏老师：对对对。
姜老师：结果大题12分是吧，大题12分。
魏老师：很意外。
姜老师：然后选择题到了一道。
魏老师：多了一道。
姜老师：填空题，确切来说就是一道题。所以说其实给二的同学，给二考研的是一个很好的谢谢。所以线代概率以后这种小题得多注意，得多注意了。
魏老师：对对。
姜老师：那么线性代数的数一的第五道题，正负关联指数，这是典型的他们的方法比较灵活，典型的拉格朗日配方法或者说就是咱们的正交变换法对不对，正交变换法就是特征值嘛，拉格朗日配方法也就是标准型对不对，这都可以，答案应该是选B。那么第六题呢，第六题这是咱们现在考研比较喜欢的一个趋势，就是他喜欢给一些向量，或者说给一些矩阵的乘积。咱说一个思想就是当大家见到一组向量的时候，或者见到一堆矩阵乘积的时候，应该想到什么呢?应该想到第二项的分块矩阵乘法对不对?
魏老师：是。
姜老师：这个最应该想到的就是分块矩阵乘法。那么这个分块矩阵乘法一写以后，系数矩阵一出来以后，题一题二自然就出来了对不对，就这种题，这个题的关键考点就是分块矩阵乘法，这也是考研的一个趋势，它为什么重要呢?是因为一分块以后，矩阵只能转化成向量组和方程组，甚至咱们的课程支撑的向量，那么向量只能转化成矩阵，那么这个理论就能串起来，就相当于一个枢纽对不对，所谓的咱们猎物工作是个任督二脉对不对，所以说分块矩阵乘法这是连接咱们第一章、第二章矩阵理论的和后面几章向量组理论的一个非常好的桥梁，所以这个考点是这几年很重视，非常适合考试的。那么第七道题呢，这是关于咱们质的问题，那么和咱们老师，前面也沟通，和方老师、王老师也沟通这个事，这是典型的历年真题的重要性，看到这个题这一刻就想到2018年的选择题，你看B选项是当时选择题的A选项，C选项是选择题的B选项对不对。
魏老师：对对对。
姜老师：这个题型不成立了，那我选C了，就是当年那个B了，就这个题，这是关于数一的。那么数二、数三的还有几道自己的题。好，看看数二的。数二的第八题和数一的第五题一样是吧。正负关联指数嘛，两大方法对不对。
魏老师：对，这个第九题。
姜老师：那么第九题，第九题明显就是向量组的线性表示，那不用多罗嗦，刚才也强调分块矩阵乘法对吧。
魏老师：对。
姜老师：写成分块矩阵乘法一转制就行了，这个题答案选D。第十题，第十题这个题看起来挺唬人的，就是容易叫数一的同学想到什么，各种分解，各种专业数学理论，一开始其实我们也从那个角度想过。
魏老师：对。
姜老师：但后来想想，大家不会考那么专业。
魏老师：对，对角论，想到相对对角化就偏了。
姜老师：对对对，本来想的是各种对称，包括正列矩阵的各种什么QR分解等等那些，那个不可能考那么专业的，所以被咱们老师又否定了，否定以后又想了想，其实就是一个初等变换对不对，就是把A进行初等行变换，包括数能列变换，这就转化成一个对角矩阵，甚至是可逆矩阵等等。那么的话，初等行变换相当于在左边乘初等矩阵，初等列变换相当在右边，最终乘完以后答案其实选C，当然选择题咱们一直说方法很灵活，选择题可以直接正向地来推导写这个正确的选项，你也可以逆向地排除对不对。你把AB端往里带嘛，你带完以后发现，乘出来明显不是嘛，对不对，那明显不能选它嘛，这个题答案方方面面地考虑，你怎么着也应该想到这个C，你哪怕就是一个一个乘，排除你也得做对不对。毕竟5分一道嘛。
魏老师：对对。
姜老师：好，这是数二、数三的，数三的还有一道新题。
魏老师：对。
姜老师：数三的，数三的第五题，这个就是典型的咱们数一的第五题。
魏老师：对对，一样的。
姜老师：也是咱们数二的第八题，完全一样的。
魏老师：第六题是个新题。
姜老师：对，第六题是数三自己的新题，这是明显抽象矩阵对吧，抽象的，系数矩阵是抽象的，也就是非齐次方程所在通解，那就是一个字就是凑，凑极数解析，凑特解，当然不是乱凑，按照解的定义和性质来严格地凑对不对?
魏老师：嗯。
姜老师：你会发现他们正交吧，正交就线性观，所以质就等于3，因为是四级的，所以极数解析里面只有一个，当然这四个选项里边也排除不了哪一个，因为都一个对吧。然后再看看哪一个用定义做。那肯定是正交的话，肯定是2—4可以了，这个题直接选2—4，答案选D就结束了对不对。这是数三的。那么第七个题，第七个题就和数二刚才的第十个题是一样的。
魏老师：对对，都是老题了。
姜老师：初等变换的题，或者说咱们逆向的，直接排除法来做也行对不对。
魏老师：对。
姜老师：这是咱们线性代数的题，整体来说还是咱们一开始那个话题，线性代数就数一还可以谈新颖度，其他数二、数三只能说传统。
魏老师：基础。
姜老师：传统，总之比较传统。
魏老师：比较基础了，但是也是容易被一些题目里面带跑偏，也有是这种。好。咱们再看一下，咱们数一、数三的这个选择题这一块，咱们看王老师。
方老师：概率统计的，王老师来说一下。
王老师：选择题的这个第八题，数一和数三的题是一样的，咱们一起说了，这个题首先理解，人家找的是假命题，很多同学一看，好了，直接对了，好了，就不做了，那么这个题不要这么做是吧，实际上这种题呢，它首先是做什么?条件概率是吧。实际上这种题就是根据条件概率公式，你逐个去推导，你找到错误的就可以了。但这种题呢，在考试的时候，咱们通常用这种排除法是吧，排除法的话，直接举个反例，这个D选项就直接给它排除出去了，这个事就是第八题。第九题呢，数一和数三同学的题，它还是一样的，只不过就是咱们说了，数三同学呢，他不喜欢，没有这个无凭无据的概念，所以人家直接让你求期望，而数一同学问的你是不是无凭无据，也是让你求CD间的期望，你求出CD间的期望来，这个题还有一个特点是什么呢?就是两个样的明显，我们大家以前的题目，为什么今年的题有一点新颖呢?以前的题目，这个我们都是一个总体，今年出了两个总体，就是X、Y两个总体，所以我们要分别地去求就可以了，但它也没涉及到，真正把两个总体去做太多东西，我们就去求它的什么期望啊、方差啊这样一些内容，这个题就是这么一个特点。
魏老师：二维总体。
姜老师：我插一句，其实这个，你像这种二维总体的还算比较新颖的是吧，刚才王老师说的，从来没这么考过对吧。
魏老师：对对，它的第十题也是。
姜老师：所以今年接着再讲，今年概率的特点明显比高数和线代概率要新颖。
王老师：新颖新颖。
姜老师：就像咱们几位老师一开始谈的，今年比较新颖的就是不跟之前似的，线代比较新颖，反而概率比较新颖对不对。
魏老师：对对。
姜老师：那数二同学算的其实，数二人家不考这个，对。
王老师：这个第十题呢，这个咱们刚才一开始就说，数一同学出了这个假设检验，犯第二类错误的概念。
姜老师：又是很新颖。
王老师：这个题是很新颖，而且就是说基本上十年了吧，大概十多年没考了，突然间一考，咱们很多同学就是有一个措手不及的感觉。
魏老师：对。
王老师：所以这个题很多同学是容易做错的。但实际上这个题呢，你说它新颖是很新颖，但是他出的是选择题，我们还是有简单的方法去做出来的对吧。实际上他就是用到一个X把(音15：31)的一个分布的问题，X把(音)服从单谬(音15：35)N分之sin(音15：35)方这样一个分布，你把它凑成标准状态，这个题答案只能选择2B，它没有别的可选性，你说它难吧，如果真的不会做，那就真的不难，但是你发现它本质的特点，也会相对来说比较简单。它有突破点。
魏老师：对对对。
王老师：数三同学的第十题，它这个题呢，实际上是我们以前的大题，就是我们讲的最大似然估计，但是今年因为他把一个概率的大题砍掉了，所以他变成了一个选择题，最大似然估计这种题就是离散型的最大似然估计，我们就是一个很中规中矩的方法，就能求出这个结果来，好，这是概率的题的特点。
魏老师：是，我们也是，今年概率的这个题的话，数一的话，有两道考的确实是比较偏。
王老师：偏。
魏老师：比较少考、少见。但实际上是吧，咱们其实每一年也都会有这种偏的内容，都是有偏的内容。
王老师：对对。
姜老师：说的专业一点，就是新颖的，对吧，每年都会有新颖的题型的对不对。
魏老师：对对，还是要抓住本质，大家复习还是要全面。
姜老师：对对。
魏老师：咱们后面的话，我们再看一下今年的这个填空，再看一下今年的填空题，今年的填空题，也是在高数上面，数学一的话，也是有个别题，像比如第十三题是吧，也是比较少考。咱们方老师您看，您对这个填空题今年是怎么看?
方老师：好，这个高等数学部分呢，这个填空题，我觉得有个别的这种考点，大部分都是比较规矩的。
魏老师：对对。
方老师：数一的这个11题就是一个很简单的反常积分。
姜老师：所以基础班的题。
方老师，对，就是基础班的。
魏老师：对，基础班的题。
方老师：第二题这个参数方程求导也是基础班的题。
姜老师：基础的，这也是基础班的。
方老师：那么欧拉方程呢，大家可能觉得比较生疏，但实际上回忆一下，我们在冲击班、点睛班四套卷全部都讲了，讲了很多很多次。
魏老师：对。
方老师：包括强化班也讲了，所以这个很多东西觉得生疏呢，是因为考试考得不多，刚才这个也给大家讲了，现在就是要全覆盖，所以这个题，实际上我们也讲了。那么14题呢，这个曲面积分呢，直接考了一道填空题，而这是最最简单的曲面积分，补面都不需要，直接高斯公式就把它做出来了，所以数一的这几道题特别地规矩，我觉得就是规矩，而且也是概念非常地清晰，这个数学二呢，这个第一道题呢也是一样，这个非常简单的反常积分。12题呢是参数方程求导，13题呢就是直接一阶偏导，这是最最简单地用一阶偏导，导一步就出来了。那么14题呢，这个题在我们前面的四大卷呢，包括冲刺班里面也给大家讲过了，它是一个二重积分，你要对它进行换序，然后降成一重积分，那么一重积分要么把它算出来，要么对它求导，因为二重积分去求导，这是不现实的。
魏老师：对。
方老师：所以这是经过换序，把二重降一重，这个实际上我们四套卷里面几乎差不多就是原题。那么15题呢，是一个很简单的微方程的求解。所以说比较规矩。那么数学三，数学三的第11题，这也是基础班，这可以说真的是基础班，或者说是期末考试的这种直接求导数，非常非常简单。那么第二道题也是一样，这个反常积分，所以今年还比较重视反常积分，那么这个反常积分需要分段，按照积分来计算，13题就是旋转体的体积，最最简单的，14题呢，你看这个差分方程，一阶差分成。
魏老师：一阶。
方老师：而且还不需要有什么复杂的构造，就直接把其次、非其次加起来，所以我觉得这个填空题也是非常地规矩，OK。
魏老师：是，咱们今年其实填空题嘛，刚才这个方老师也一直说是吧，也是很规矩，很规矩，有个别的比较偏的点，但是如果说你基础够扎实的话，都是没有问题的。咱们这个填空题，大家再看一下我们这个线代，线代的填空题的话，线代概率咱们也就各一道，姜老师您看看，咱们这个线代，它这个填空题的这个，就是这一道是吧，都是这一道。
姜老师：就一道。
魏老师：不是，咱们这个数一一道。
姜老师：数一一道，对。
魏老师：数一和这个。
姜老师：各考一道，数一这一个吧，数一这一个，他给的是，表面上求的是所谓的代数余子式，其实想明白了第二章伴随矩阵的，伴随矩阵的元素，就是A的代数余子式，所以这个题其实也就研究伴随矩阵，那么给了一个每行元素和，这种题从基础班就其实，每行元素和就是A×11嘛对吧，然后两边同乘A星嘛，最终得到这个值呢，最终得到这个3/2嘛，所以这个题呢，实在地说，比咱们强化班讲的题都简单，因为咱强化班都已经讲到各列元素之和了是吧，也就各种转制的问题了，或者是做成的问题了。两大方法对吧，这个等21的，21的其实这个你不听也罢了。因为对你来说，你考的题根本还不需要这个方法来做，当时咱们说，如果说是各类元素和，可以求转制，也可以做成A，这个处理起来就更漂亮了。这道题本身考的，比咱们强化班讲的还是要简单，比强化讲得更简单。那么数二、数三的那个小题呢，他俩考的是一道题。
魏老师：一道题。
姜老师：数二数三是一道题。就是关于行列式的定义对吧。
魏老师：对。
姜老师：也是回到刚才方老师和王老师谈这个问题，今年考试整体来说，传统的题还比较多，当然新颖的题也有对不对，这是每年的特点，共同的特点。这个极其传统的，就是行列式的定义，这真是线性代数的，打开线性代数的第一章的第一节的第一个定义对不对，用行列式的定义，就按照这个定义来做就可以了。数二数三都考了行列式的定义，就这种题，所以说相对来说是非常传统的是吧，可以说是比较简单的。
魏老师：对，所以咱们线代的这个填空题基本上都是传统的，基本上都是传统的，比较常规的问题。
姜老师：整体传统。很常规。
魏老师：我们来看看数一、数三的概率呢?概率这方面王老师。
王老师：概率这个题，数一、数三考的题是一样的。
魏老师：对，完全一样。
王老师：他就考了一个这个古典概型，然后他又结合了一下这个。
魏老师：相关系数。
王老师：相关系数。以及二维的这种随机变量是吧，二维离散型的随机变量，然后我们只要求出这种联合分布率来，它是一个四个数的量是吧，四个数。
姜老师：概率分布。
王老师：概率分布对吧。联合概率分布。
姜老师：对。
王老师：你只要求出联合概率分布来，相关系数就按照定义去做就行了。
姜老师：对。
王老师：这就是一个完全的定义的一种题。
姜老师：对对。
王老师：但是这个题的难点就在于什么?就是很多同学。
姜老师：古典概型。
王老师：对，看到古典概型有点怕是吧，看到古典概型有点怕的话，他有时候分析不清楚，这个题就出问题了。
姜老师：其实咱们最担心的就是古典概型会直接考吗?极少。
王老师：极少，不多。
姜老师：离散型的随机变量对不对，求它的概率分布，一维二维都可以。
王老师：对对。
姜老师：就担心这样的题，老头正好就从这个角度就进来了。
王老师：从这个角度命题的。
姜老师：对对。
王老师：所以同学们，有一些同学会出一点问题。
姜老师：不能大意，哪些要研究透了。
魏老师：对对，看你这个概率是不是都能算对了。
姜老师：对对，一定要研究透。
魏老师：好，那我们填空，线代和概率的填空题呢，应该说问题都不是特别大。咱们最后还是看这边重头戏，就是咱们的解答题，当然咱们今年的话，解答题就只有6个题了。
姜老师：比去年少。
魏老师：对，比去年说少了三个，那咱们现在的话，大体的话也是，线代和概率都只有一道，咱们高数的话是有五个题。
姜老师：有四道。
魏老师：有四个题，对。那方老师，咱们今年这个数一、数二、数三这一块高数的，这一块的咱们的大题，它相比之前是有什么变化?然后各个大题的基本思路，请方老师也是给我们分析分析。
方老师：好的，今年高等数学的解答题，我觉得重点突出。
魏老师：重点突出。
方老师：但是呢，比较强调计算。
魏老师：强调计算。
方老师：对，很多同学呢，可能会在考试的时候感觉这个题会，就是算不出来。我看有很多同学微博上留言也是这样。
魏老师：对，是。
方老师：那么我们看数一呢第十七题，那么这个就是带这种变限积分的，这种极限的计算。实际上整个来说是比较基础的。那么很多同学呢，可能做的时候呢，会犯糊涂，那么这里用洛必达或者泰勒展开两种思路都可以，就是带积分，积分是一种运算，其实跟泰勒展开是相互独立的。
魏老师：对。
方老师：我们可以是先展开再积分，那么很多同学，可能对这个积数的判断不是那么准，那么这一道题就是如果用洛必达的话，那么需要有相当的计算量，大家小心。当然有同学说，这个题我可以把它拆成两个极限来算。这个有时候考试的时候，可能会想不到，所以这一道题呢，如果硬算的话，也是有比较大的计算量的。
魏老师：对。
方老师：但是如果采用这个泰勒展开，算的计算量会低一些，那么十八题呢，这个级数的收敛域和函数也是非常非常的规矩，非常规矩的一道题，那么收敛域呢，就是前后要取交集，第一个积数、第二个积数对吧，取交集。那么前后合段化(音24：50)呢，第一个是一个等比级数，比较规矩的。那么第一下呢是一个等比数列，相当于等比数列。
魏老师：对。
方老师：那么等比级数很简单。那么第二部分呢，就是要把它拆开。
魏老师：对。
方老师：拆成以前我们强化班反复讲的这种级数分解的概念。
魏老师：对。
方老师：拆成比较常规的论(音25：10)的这种展开式来计算。但是呢，千万千万要记住和函数的端点是要重视的。
魏老师：对对对。
方老师：我们这个端点。
魏老师：要单独带上。
方老师：在你判断收敛域的时候，要看端点收敛还是发散。
魏老师：对。
方老师：在最后求和的时候，要把端点考虑进来。那么这里有可能要求极限。
魏老师：没错。
方老师：所以这个题呢，我觉得虽然比较常规，但是也并不简单。
魏老师：对，是。
方老师：这个计算量还是比较到的。
魏老师：有计算量。
方老师：那么这个19题呢，我印象中大概应该是2008年。
魏老师：对，应该是2008年，对。
方老师：差不多就是一道原题，曲线上的点到坐标P那最大距离，这个就是用拉格朗日乘数法去算。
魏老师：对对。
方老师：但是计算也比较容易出错，因为带两个条件，有(25：51)的时候，很多同学都反应不过来了，所以这里也是考计算。那么20题呢，这个二重积分，这一道题第一步略微有点难，说这个积分取最大值的区域，这个题其实就是考积分的比较定理，那么很多同学这一步有可能会反应不过来，那么总体来说，如果一个函数取正的时候，它的区域到积分制在扩大的。
魏老师：对。
方老师：那么一旦函数开始取负了，那么区域扩大，积分在缩小，因为你加的是小于0的。
魏老师：对。
方老师：就跟你锻炼一样，你在状态好的时候，你越跑，你是越健康的对吧，当你过了一定的临界点，你已经疲惫了，那你再跑，有可能你的健康情况在下降了。所以这是一个临界的这个问题。那么把这一个想明白了，这个题就不难了。那么当然这个第二问也是特别巧，跟我们2020年的差不多就是原题，这个曲线积分去挖一个点，打一个圈，打洞的这种方法把它做出来，所以数一的这几道题，重点非常突出，比如说极限的计算、泰勒展开、级数求和、拉格朗日乘数法还有二重积分，还有曲线积分。
魏老师：非常地重视计算。
方老师：整个来说传统重点。
姜老师：对，真是传统重点。
方老师：但是实际上计算量还比较到，做的时候你看第一问第一题，如果你洛必达，可能会落得比较复杂，第二题呢，有可能在和函数的时候，把端点给漏掉了，第三个拉格朗日的时候，对…的分析也有可能犯错误。
魏老师：对。
方老师：那么第四道题呢，就有可能反应不过来，就是这个二重积分的比较定理。
魏老师：对对。
方老师：所以说这几道题也是需要大家计算要特别地熟练，而且考试的时候状态需要比较好。这个还是比较重视计算。那么数学二呢，高等数学有五道解答题。
魏老师：对。
方老师：第17题就是跟刚才一样，就是这种极限的计算泰勒展开了。那么18题，凸凹区间及鉴定线，实际上今年考纲专门提到了函数作图，实际上就是函数作图的一个体现。函数作图就是要去计算单调性、极致点还有凸凹区间，还有鉴定线。所以这一道题就是在解答题里面考的这个凸凹区间及鉴定线，那么还是比较重视基本概念、基本原理的，实际上这一道题虽然是12分，但既考了凸凹区间，又考了鉴定线，而鉴定线你还是去分这个水平的、斜的，还是去对它进行排除。所以这个其实运算量也比较到。那么19题呢，也是非常传统的一道题，这个弧长的计算，还有旋转面的侧面。那么侧面我们以前也是重点讲的这是数二的特色内容。
魏老师：对。
方老师：由周长去乘弧微分进行积分得到的，这个也是比较重要的。20题是一个微分方程的求解，第二个就是考法线的这个概念，这也是比较常规的一道题，但这个题计算也有可能会出错，因为很多同学对节距的概念还不太理解，我以前讲这类的题，有好多同学非要说节距是绝对值，实际上不是的，节距就是跟这个Y轴的交点，它的纵坐标，所以它可以正也可以负。所以这个就考了对它的概念。
魏老师：交点，对，对对。
方老师：那么21题呢，这个题略微新一点，这个题实际上是哪一年?九几年，1988年。
魏老师：1988年。
方老师：很遥远啊，一道选择题改编过的。这个题就是运用极坐标，因为你图不会画嘛，那只能采用极坐标对吧。
魏老师：对。
方老师：那么用极坐标的时候，就要记住R是要非负的，所以把这个画出来，再利用对称性再计算。所以这个题略微新颖一点。
王老师：具体就不用对称性了，因为他直接告诉你大于等于0。
方老师：对，大于或等于0。
王老师：不给这个范围，他就应该考虑了，给了他就不需要考虑了。
方老师：如果没给这个范围的话就要考虑，对，这个题给了第一象限，然后运用极坐标就能把它做出来，略有新意，好。那第三个数三呢，数三的话，我比较意外的是今年没有考经济学，这个亮点没有考。第十七题是非常非常简单一个左右极限的题，我们知道一个极限，带绝对值的时候，是需要看左极限、右极限的。这个比刚才实际上泰勒展开这个题还要简单。那么十八题就是一个无条件的机理，也是非常基础的，两个偏导为0，然后去计算AC减B方。那么十九题就是一个比较常规的二重积分。那么这种积分我们也是平时练的非常多。但是实际上这个题，因为有E的X+Y的平方，所以这个计算的时候还要注意一下，这个计算也有可能出错。
那么20题呢，这个题就是跟大概是2007年这个题很像，给了我们这个微分方程的解，然后去计算这个收敛域和和函数，整个来说跟刚才的概念是一样的，但是当它融合了微分方程的时候，很多同学就容易做错，所以它糅合了两个概念，一个是微方程，一个是和函数。所以我觉得数三的题呢，前两道题非常非常地规矩，有非常地简单，那么后边两道题就是要重视计算，很多同学容易眼高手低，表面上看好像这个题我都会，但算的过程一些细节把握不好，也得不了分。
魏老师：对对。
方老师：所以我觉得今年呢，这个几道解答题呢，整个来说就是重点非常突出，没有这个偏题、怪题，但是也是非常重视计算的。
魏老师：对。
方老师：数学最终还是用计算的结果来表示的。
姜老师：计算量还是比较大的。
方老师：对，OK。
魏老师：对。好，这是咱们高等数学。那姜老师您看看，咱们线性代数这一块，线性代数刚才咱们前面方老师也说了，咱们计算量已经比较大了，那咱们到现在这边，做到线代这里。
姜老师：它今年比去年、前年计算量少太多了。
魏老师：少了很多。
姜老师：少太多了，一共是各一道大题，数一的呢，刚才前面提到了，这个线性代数整体来说，它只有一点就是数一的，数一的第21题是吧，数一的21题，就是正定矩阵的分解，另外前面咱们再把特征支撑的向量，包括单位化，就是正定矩阵都得求出来，这个地方可以用特征方程化，也可以用咱们的质V1，尤其分解为质V1，这是咱们强化层次给大家重点讲的，也算是咱们团队老师独家的秘籍了对不对?
魏老师：对对对。
姜老师：基本上应该没有外面有讲到的，这个确实能快。
魏老师：对。
姜老师：然后另外就是正定矩阵分解，就是一个正定矩阵，任何一个正定矩阵都可以分解成其他正定矩阵的高次密的是，这是咱们冲刺班。咱们U50那个班重点讲的。今年很欣慰的就是线性代数就一道新型的题，数一考的。
魏老师：对。
姜老师：更欣慰的就是咱们这道题冲刺班正好讲上去了，是真心讲上去的，在150的线性代数的第24道大题，真的是把正定矩阵的分解给讲了。
魏老师：讲上了，讲到了。
姜老师：所以见了这个题，当时很兴奋，就觉得起码线性代数今年大家无忧了。那么数二的和数三的呢?数二的第22题和数三的第21题是共同的题，比较传统的相似对角化，这是超级劲旅的，就是说传统的极其重要的重点了是不是。
魏老师：对对。
姜老师：相似对角化极其传统的重点，那么有两个参数，那就是通过特征值，通过相似对角化的充分条件、充二条件来判定小A、小B，一旦小A、小B有了以后，特征值、特征向量都有了，那么相似对角化什么都有了对吧，比较传统的重点，计算量也没有往年那么大，所以这个题，整个这个线性代数到这收个尾就和前后呼应一下，就是数一的一道新颖的题，其他都是很传统的，所以现在考研，大家把经常基础强化冲刺，包括你做的真题，包括你做过的一些模拟卷掌握好了，现在考研基本上就够你用了，就看今年数二、数三的线性代数是足够你用了，没有一道超出去了。所以额外再适量做点难题，听点难题，就是正定的分解，这不正好今年考上去了，数二、数三都没有考这么难的对不对，就这个样子。
魏老师：这是我们线代，看来咱们今年线代的同学应该是比较好，比较幸福。
姜老师：比较幸福，尤其数二、数三的同学。
王老师：尤其数二的同学很幸福。
魏老师：对，咱们到概率这一块，概率这一道题，这两道题都是一样的，一样的，就是咱们说一道题，这一道题其实考的还是比较不错，比较有难度。
王老师：比较难的。整个这个，我觉得像概率这个题，对，就是数一数二的，有个难题的。
姜老师：数得上的是吧，数一数二的，对对对。
王老师：我觉得它可能尝试正好在压轴的这个题上了。
姜老师：对对对。
王老师：这一题的难度，对有一些同学来说，它不太好看是吧，X他是要随机地去取嘛。
魏老师：对。
王老师：他应该实际上就是说服01上的这种均匀分布。这一点是很多同学没有想到的。
魏老师：对，不太好想。
王老师：不太好想。但你只要想到这一步之后，实际上第二步和第三步相对来说呢，还是好做一点的。那第二步呢，求Z的概率密度呢，当然我们就从定义法去做，先求Z的分布函数。
魏老师：对。
王老师：求出分布函数来之后，再去求Z的密度，这个事就搞定了。
魏老师：是，把那个Y给带进去。
王老师：Y等于这个2-X吧，把这个关系给它带进去。
魏老师：对对。
王老师：这是一维的函数的分布，这也是咱们常规的重点。
姜老师：对对对。分布函数方面。
王老师：分布函数，这是常规的重点内容。
魏老师：对对对。
王老师：所以这个事是比较重要、有思想。第三个呢，当然正好呢，大家一定记住考那种多问的题，前面两问都是为后面来服务的这个思想。
魏老师：是。
王老师：实际上这个题你看，第一问是第二问服务的，第二问是第三问服务的，如果直接给大家出这个第三问，大家就疯掉了。
姜老师：对对对。
王老师：但是你看第三问他是求这个X与Y的期望，X与Y恰好是1/Z。而第二问我们求出了Z的密度。
魏老师：求出密度了，对。
王老师：我们求出了Z的密度，相当于区别了函数的期望了。
魏老师：对。
王老师：然后用函数的期望去求，这个题就直接搞定了。
魏老师：对对，求一个1/Z的期望。
王老师：对，1/Z的期望。
姜老师：对对对。
魏老师：1/Z和那个概率一乘。
王老师：一乘就OK了。
姜老师：王老师，你看这个第二问求Z的概率密度这个地方。你看Z等于Y/X，这个Y是等于2-X对吧。
王老师：2-X。
姜老师：这是约等于2/X减去个1嘛。
魏老师：对。
姜老师：这个X是一个单调递减的函数。所以单调函数的话，咱们公式法也可以做。
王老师：也可以做。
姜老师：所以这个题一套公式就结束了其实。
王老师：也可以也可以。
姜老师：这个题第二问又出来一个很好的方法是吧，就是这样。
王老师：对，好的思路，对对。
姜老师：其实当时我们讨论的时候，我们老师比较担心数一、数三，这个同学搞不定，因为X、Y，就怕大家研究不出来是不是。这个题有点小担心。
王老师：对对对，这个题确实有点小担心的。
姜老师：对对对。
王老师：因为他出的题的话，有的同学对这种感觉不太敏感。
姜老师：对对。
魏老师：那当然咱们就是，无论大家反正考试今年的话，就是无论怎么样吧，今年也算是大家通过一年的努力。
姜老师：尽力了是不是。
魏老师：也尽力了，对对对。
姜老师：都尽力了。
海天考研数学名师解析2021考研数学真题：22考研建议
魏老师：是。那不知道各位老师，通过今年咱们的这个考试题，更多的可能咱们向2022年的，包括后面2023年，未来这一两年，有什么启发的意义是不是。
姜老师：对对对。
魏老师：就是您看方老师，咱们通过今年的这个高数，高数咱们这个考到的这个重难点，比如说没有考到的这个地方是吧，还有包括就是，他这个大纲改了之后的这个趋势上面，方老师您有什么对这个，比如咱们后面这个2022年的同学、2023年的同学要说的话。
方老师：好。这个第一个，我觉得今年这个大纲改革之后，实际上大家发现更加地偏重这个基础了，更基础了。像以前的那种很难的题，现在少了，明显地少了，所以第一个大家还是要重视基础，千万不要眼高手低。很多同学数学一复习，上来就冲数学竞赛题，这个方向是不对的。
魏老师：对。
方老师：你像今年这个选择填空，人家泰勒展开、全微分，还有定积分的定义，都是非常非常基础的。这个分数还不少呢，这一下子几十分。所以第一个就是一定要重视基础。第二个就是真题一定要重视，你像我们刚才。
姜老师：有好几道了。
方老师：包括在线性代数里面也是对吧，高等数学里面，2008年这个几乎就是原题。
姜老师：1988年的一个双井线那个是不是。
魏老师：大概就有5道题。
姜老师：对对对。
方老师：对，包括刚才极数这个题，差不多也是个原题。
魏老师：对。
方老师：所以说非常地重视真题，不要有这种曾经沧海难为水的感觉，过往的我们也要珍惜。
魏老师：是。
方老师：第三个还是要练计算，这个我看今天微博上很多同学说，老师我这个题目都读懂了，我就是做不出结果，所以做不出答案，这个最后还是不行的，所以大家还是要，我觉得要猛练计算，那么总体来说，我觉得还是四个字吧，觉得还是回归基础。
魏老师：回归基础。
方老师：所以这个2020年呢，可能这个题目略微难一些，那么实际上大家担心的这种比较难的高难度的这种题，现在很少了。整个来说还是中规中矩的。所以我相信就是稳抓基础。第二个，跟着我们这个课程走下来，第三个加强真题的练习，数学考一个比较好的成绩还是不是那么难的。
魏老师：对对。
方老师：好，OK，这是高等数学部分。
魏老师：这是咱们高等数学，那也是，咱们看看姜老师，咱们的这个线性代数啊。
姜老师：行，我就说一下吧，给咱们2021年的同学去简单地说就是咱们都尽力了，真是尽力以后的顺其自然，那就真的就顺其自然了是不是。
魏老师：对对对。
姜老师：如果不尽力的话，因为咱们现在这帮小孩吧，这帮人接近00后了，比较佛系了对不对，不过考研的同学，我觉得没那么佛系，大家都挺尽力的是吧?
魏老师：对对。
姜老师：所以都尽力了就好了，然后先好好放松几便，期待有好的结果，那么二的同学，刚才方老师也提到了，和王老师也交流这个事了。就是现在好像今年的题目没有这么难了，起码比去年感觉。
王老师：简单多了。
姜老师：其实我们交流起来就感觉担心的题已经非常少了，真心说，担心的题比较少了是吧。
魏老师：对。
姜老师：所以整体来说，中等偏简单的题还是会多一些。所以好好听课、好好做题，基础班、强化班、冲刺班、真题班、模考班，足够你用了对不对，这些题都太多了，足够你用了，所以好好听课，踏踏实实地跟着做题就可以了，就这样。
魏老师：来，王老师，您来谈一谈咱们概率吧。
王老师：概率的这个东西呢，它往往就是说，大家往往是最后来复习的嘛。
魏老师：对对。
王老师：往往就是说，他的这种冲劲，那些劲啊，往往都用得差不多了。
魏老师：对。
王老师：很多同学他学概率的时候，不像学高数、线代有那么大的劲头。
魏老师：对对。
王老师：实际上你该怎么学，还要怎么学，而且这个东西，它往往是你在高等数学学懂的基础上才能学好概率对吧。
魏老师：对。
王老师：高数都没学得特别明白的时候，概率往往有一些题，你真的是做不来的。
姜老师：到了一维和二维就没法做了。
王老师：到了一维和二维的时候真是做不来。
姜老师：对对对。
王老师：但是你说你高数先学好了，但是精神不能放松是吧，抓住基础，抓住一些最基本的概念，还是应该概率也没有什么特别大的问题，就是说很多同学为什么没学好。他好像说，我从中学，我就是学文科的是吧。
姜老师：对，我就抵触。
王老师：然后我就不想做，我就不想看是吧。
姜老师：对对对。
王老师：有很多同学是这样的一个特点。咱们就是说你放弃这个概念，因为咱们毕竟是研究大学里面的数学了，它跟中学那个时候没有什么特别大的关系，该怎么学怎么学，不要抵触，这是我对一些尤其是以前高中学文科的同学的一个建议吧。大家把这个概率也要学好，不能瘸一个腿啊。
姜老师：不可大意，不能大意。
方老师：大意失荆州啊。
姜老师：对对对。
魏老师：是啊。咱们这个无论如何吧，反正今年也是非常希望大家能有一个咱们比较满意的成绩是吧，因为今年毕竟是咱们这个，应该说还是不少题型还是比较传统，比较回归传统的。
王老师：对对，80%吧。
魏老师：80%啊。也不知道咱们同学这个。那就是咱们三位老师，最后咱们再谈谈吧，就是关于今年比如说没有考到的考点，大家可能会需要重点复习的有哪一些。
姜老师：这个实在是不大好答，因为数学的这些，现在不敢说不重要。
王老师：都重要，刚才就强调全面全面。你看今年就考了第二类错误的概率，这就叫全面。
姜老师：经常考，双纽线，这都经常考对不对。
魏老师：全是，对。
姜老师：不敢大意。
王老师：还是要全面。
魏老师：不能瘸腿。
王老师：大纲有的，都要看。
姜老师：古典概型王老师都有要求，刚才都提示特别的要求了是不是，所以说还是要完成对不对，还是要完成，一点不敢大意。
魏老师：行，好，那行，了解了解。那也是听了三位老师对今天的真题解析。我就一下对这个真题确实是豁然开朗。各种思路其实怎么说呢，其实还都是常规的问题，还都是常规的问题。
姜老师：常规的多。
魏老师：常规的问题有一些变化，对，好的，咱们今天就到这里好吧。
方老师：好，祝大家考试成功。
姜老师：好，考试成功，加油。
魏老师：好的。
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